利用一副小学生常用的三角尺，能画出165°的角吗？

官方教师用书上给的“标准”答案里，并没有这个选项，那么，是相信答案，还是大胆质疑并探索求证？

近日，四川天府新区华阳小学两名四年级学生成功推翻官方用书上的“标准”答案，并给新世纪小学教材（北师大版）编写组（下文简称：教材编写组）发去了邮件，并收到了编写组的回信。

回信中，教材编写组肯定了两名学生敢于质疑的探究精神和严谨的态度，同时表示，在教材修订时，会采纳他们的建议。

用一副三角尺画角

官方“标准”答案唯独少了165°

10月14日，华阳小学四（6）班，上午第一节数学课。

数学老师黄敏正带领孩子们完成27页最后一道练习题：利用一副三角尺，你能画出哪些不同角度的角？

教材中的练习题原题

这是一道拓展题，鼓励学生大胆尝试，先独立地摆一摆、画一画，再交流方法。

孩子们拿出三角尺动手画起来，纷纷给出了自己的答案。

黄敏并没有止步于此，她带领孩子们，一起归纳了方法。“要给孩子们结构化的思维方式，而不是点状的。”

就传统思路而言，方法和答案有这么几种：

第一种是三角尺上本来就有的，如30°、45°、60°和90°；

第二种是把两个三角尺的角拼起来，可以得到75°、105°、120°、135°和150°。

第三种是把两个三角尺重叠起来，如45°和30°重叠在一起，就是15°。

在总结方法后，黄敏引导孩子们从小到大，对这些角进行了排序。

很快，大家发现了一个有趣的现象，这些角度是有规律的，从15°开始，依次增加15°，一直到180°，但是中间好像唯独缺少了165°。

正在这时，班上的米之贤同学举手了，并特别激动地说：“老师，两个三角形重叠，可以画出165°的角。“

“我当时都是懵的，我也不能确定。”黄敏表示，在备课时，数学教师用书上的答案，并没有165°。

官方用书中给出的“标准”答案，没有165°这个答案

不过她鼓励孩子们：“可以质疑答案，没人会嘲笑你们，不要怕，大胆说出来，也许是一个重大发现。”

黄老师把米之贤邀请上讲台做了展示，米之贤先是把矮胖三角尺（等腰直角三角形）45°的一条边和瘦长三角尺60°的一条边重合，在右上方，就出现了一个钝角。米之贤用量角器测量了一下，果真是165°！

“我是在画15°角的时候，无意中发现的。”米之贤说。

但是，从数学论证的严谨性而言，要确定这个角就是165°，光靠量角器还不行，必须通过科学的方法去计算，去证明这个角就是165°。因此，下课铃响后，黄敏鼓励孩子们继续思考。

带着这个问题，班上的廖钧宇开始琢磨起来，终于在放学之前，成功计算出这个角就是165°。

廖钧宇说，要求出这个角a的度数，可以和它旁边的角1产生联系，角1又在小三角形里面，前一课学过三角形内角和是180°。于是，先算出角3=180°-45°=135°，又知道角2=30°，所以角1=180°-135°-30°=15°，那么角a=180°-15°=165°。

孩子们的角度计算方法示意

也就是说，官方用书中给出的“标准”答案，确实漏了165°这个答案。

教材编写组回信：

欣赏你们勤学好问、勇于探索的精神

黄敏被孩子们的探索精神所感动，在她的建议下，米之贤和廖钧宇给教材编写组写了一封邮件，详细说明了发现的问题，还给出自己的建议：

“这道题的答案里面是不是应该加上165°呢？如果考虑到165°确实有点难得到的话，可不可以添上一句话‘还有更多的答案，等着小朋友去探索哟’。这样就有很多小朋友像我们一样探索起来。”

“非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神，特向你们回信表示感谢。”10月18日，教材编写组给两位同学回了信。在教材修订时，会采纳两人的建议并及时修订。

米之贤和廖钧宇在交流三角尺的摆法

附教材编写组的回信原文——

亲爱的米之贤、廖钧宇两位同学：

你们好！很高兴收到你们的邮件，你们在邮件中认真详细地说明了在教书教学用书中发现的问题，这种敢于质疑的探究精神和严谨的态度真让我们感动！

关于你们在信中提到的教材四年级上册第27页第6题答案的问题，编写组的叔叔阿姨们已经将你们的问题和建议记录下来，在教材修订时会采纳你们的建议并及时进行修订。

数学源于生活，又应用于生活，你们在用数学的眼光观察着这个世界。编写组的叔叔阿姨们非常欣赏你们这种勤学好问、勇于探索的精神，特向你们回信表示感谢，并奖励你们一个新世纪小学数学平台的学习账号，希望你们能够继续保持这种学习数学的态度。

祝你们学习进步，生活快乐！

你们的编者大朋友

2022年10月18日

杜玉飞 红星新闻记者 许雯

图据天府教育发布

编辑 成序

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网友看法

1、网友种花杂谈：一副三角板当然可以画出15°角的任何倍数，165°也不例外。但两个小学生能够深钻进去，利用一副三角板直接拼出165°的角，还能给予证明，真是难能可贵。少年强则国强!

2、网友微覌視界：小学教材的话不足为奇，165度并非做不出，也并非编委不清楚，而是小学的知识点不涉及，无法证明，学生们只是量出来这是165，但如何证明呢？老师怎么给学生讲呢？ 只能说老师自身备课不足，居然还懵了。

3、网友柠都人新鲜事：老师的教学用书没有，老师就不知道，可见老师的素质有多高

4、网友夕颜如尘：90+45+30=165怎么不行？

5、网友一颗爱吃肉的草草：不是答案没写全，而是这是低龄段的简单几何。小朋友能发散思维，大胆尝试，而老师没有马上否定，而是一起探索，并鼓励孩子们求知，这就是一个好老师，一堂好课程。希望多一些这样的老师，去引导孩子大胆发现，而不是照本宣科。特别是语文课，美术课之类的课程。

6、网友半打卤鸡蛋12138：你们别觉得没啥。对于小学四年级，这个拼接方法和寻找出来角的位置，属实刁钻。而且他的证明，需要用到初中的一条定理：三角形一个角的补角，等于另外两个角之和。也就是说小学4年级，证明了初中（应该是初二）的定理。

7、网友物理不老舟：这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

8、网友秋上楸树：看来教小学数学，不需要太高的数学能力。

9、网友小逗逼影视：第一自然段“教书教学用书”？？？是什么意思呢

10、网友自由生活体验者：我都想出来了，二个带15度的三角尺，用15度的地方拼，余下的地方就是165度！

11、网友书魂剑魄：一副三角尺是指两个三角尺吗？

12、网友防水堵漏越堵越漏：人教版：是你们记错了，不是我印错了

13、网友昆仑传说：敢于质疑教材推翻教材的错误结论才是真正的好学生！

14、网友外向橙子GQ：都是外行在评论，你们以为编委不知道有165度？我近三十年的经验告诉你们，这个属于拓展，不是应知应会的，只是小孩的建议很好而已。

15、网友才哥wdc：能得到15度当然就可以得到165度，15加165不就是180吗？

16、网友芷兰：这小学数学老师不怎么样！这样简单得很的答案还需要什么严谨的推理？

17、网友喜好科学的胖子：其实还能画出很多度数的角，比如说利用边长关系加上旋转。这个问题要深究就得学高斯当年是怎么把一个圆17等分的

18、网友微笑咖啡SF：有15度 不就有165度了？

19、网友奔跑的蜗牛131302143：肯定是可以啥，165=90+60+I5

20、网友数学习题爱好者：对于一个小学生能拓展出165确实是值得鼓励，相对而言他的数学老师拿到165这个答案的反应又显得业务不精了